【题目】 将六个数字1，1，2，2，3，3排成一排，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有3个数字。
此题的解决并不困难，我们可以采用枚举法：因为两个1之间有一个数字，这个数字只有2或3两种可能。如果两个1之间是2，可以排出三个数字：121，这时左右两侧只能是两个3，即排出了五个数字：31213，还剩下一个2，可以放在左侧或右侧，于是得到本题的两个答案：231213、312132；如果两个l之间是3，可以排出三个数字：131，这时就只能在左侧或右侧写2，即2131或1312，而另一个2就无处可放了，这说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：231213和312132。
题目做完了，我们可以进一步想，如果把本题的六个数改为八个数，即：1，1，2，2，3，3，4，4，将这八个数排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?利用前面的方法我们可以很快得到答案：23421314和41312432。
再进一步想，如果将数字增加为十个，即：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，将这十个数字排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?这次，经过反复试验，无论我们如何努力也排不出来。
数学问题解决，作为创造性的思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。
问题转化是数学家特别善于使用的解题策略，是数学教学中必须予以关注的。作为数学问题解决的策略，应用转化的必要条件是：和原问题相比，转化后所得的新问题必须是较为简单的，或者是已经解决了的，否则，转化就失去了意义。一个正确的转化策略的产生，往往要经过多次的试验和失败，也就是在尝试错误中进行学习，但是现代认知心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确解题策略的产生还需要靠顿悟。比如下例：
棋盘有8×8=64个格，假定有32个长方形棋子，每个棋子的大小相当于两个格的面积，显然，32个棋子可以盖满64个格。如果砍去对角上的两个黑格，试问能否用31个长方形棋子把所有剩下的62个格盖满? 当然，我们可以用枚举法，考虑一切可能的情形反复尝试，也许可以得到答案。但实际上这几乎是不可能的，我们需要靠顿悟，需要改变解题策略。把问题转化一下，考虑到每个长方形棋子只能盖住一黑一白两个方格，在这个缺角棋盘中究竟有几个黑格，几个白格，因此原问题可转化为缺角棋盘中黑格的个数与白格的个数是否相等的问题，这样很快就能得出答案： 由于棋盘中的黑格数为30个，而白格数为32个，所以用31个长方形棋子不可能盖满剩下的62个格。
这个例子给我们的启示是：也许，对于1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这十个数来说，上面规定的排法根本就不存在。那么，如何去证明这种排法不存在呢? 我们采用“染色”法证明。
将这十个数所应占的十个位置进行黑白相间染色，黑色位置和白色位置各占5个。
根据题意，每对奇数（如1，1）之间要有奇数个数，每对偶数（如2，2）之间要有偶数个数，则每对奇数所占的位置应为相同颜色的两个位置，而每对偶数所占的位置则为不同颜色的两个位置。一共有两对共4个偶数，要占据2个黑色位置和2个白色位置。剩下的三对共6个奇数，要么占6个黑色位置；要么占4个黑色位置和2个白色位置；要么占2个黑色位置和4个白色位置；要么占6个白色位置。于是，如果满足题设的要求，则共需要8个黑色位置和2个白色位置；或者6个黑色位置和4个白色位置；或者4个黑色位置和6个白色位置；或者2个黑色位置和8个白色位置。这与黑色位置和白色位置各占5个相矛盾，故满足题设的排法不存在。
问题得到了解答，然而，新的问题又一次出现在我们面前，即这种排法有时存在，有时不存在，我们不禁要思考，对于2n个数：1，1，2，2，3，3，……，n，n，当n满足什么条件时，这样的排法存在；当n满足什么条件时，这样的排法不存在呢? 我们仍然采用“染色”法来解决这个问题。
把n分为偶数和奇数两种情况分别讨论：
1．当n为偶数时，这时有n个黑色位置和n个白色位置，有n/2对偶数和n/2对奇数。根据上面的讨论，n/2对偶数将占据n/2个黑色位置和个n/2白色位置，这样就剩下n/2对奇数，以及n/2个黑色位置和n/2个白色位置，由于每对奇数需要占据相同颜色的两个位置，因此，剩下的n/2个黑色位置和n/2个白色位置就必须是偶数个，即n/2必须是偶数，这说明n必须是4的倍数。至此，我们可以得出这样的结论，当n为偶数时，只有n是4的倍数时，才能将这2n个数排成两个几之间就有几个数的一排来。
2．当n为奇数时，这时有n个黑色位置和n个白色位置，偶数有(n-1)/2对，奇数有(n-1)/2对，(n-1)/2对偶数将占据(n-1)/2个黑色位置和(n-1)/2个白色位置，这样就剩下(n+1)/2对奇数，以及(n+2)/2个黑色位置和(n+1)/2个白色位置。由于每对奇数需要占据相同颜色的两个位置，因此，剩下的(n+1)/2个黑色位置和(n+1)/2个白色位置就必须是偶数个，即(n+1)/2必须是偶数，这说明n+1必须是4的倍数，或者说n是被4除余3的数。至此，我们可以得出这样的结论： 当n为奇数时，只有n是被4除余3的数时，才能将这2n个数排成两个几之间就有几个数的一排来。
综合以上分析，我们可以得出如下结论：对于2n个数：1，1，2，2，3，3，……，n，n，当n为4的倍数或者是被4除余3的自然数时，这2n个数就可以排成一排，使得两个几之间就有几个数。
例如，当n=7时，排法为：73161345726425或52462754316137，
当n=8时，排法为： 6274258643751318或8131573468524726。
通过对这个问题的讨论，使我们领悟到： 做数学题不要“做完就完”，一道题目做完了，其实还有很多可以再思考的内容，科学上很多重大的发明或发现就在于类似这样的思考；当反复思考一个问题不得其解时，不要钻牛角尖，可以换一个思路，也许这个解根本就不存在，如果你把不存在的道理想出来，也就等于解决了这个问题。数学问题解决的真谛正在于此。
